O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:
|q|= Max {-q,q}
Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.
A soma (adição) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:
a/b+c/d =ad+bc÷bd
Propriedades da adição de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q: a+(b+c)=(a+b)+c
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:
p - q = p + (-q)
Multiplicação (produto) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:
a/bxc/d =ac /bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da multiplicação de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que
q × q-1 = 1
Esta última propriedade pode ser escrita como:
a/bxb/a=1
Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p × q-1
Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?
A divisão de números racionais esclarece a questão:
a/b÷c/d=a/bxd/c=ad/bc
Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.
Propriedade distributiva (mista)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Potenciação de números racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25
Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.
Raízes de números racionais
Raízes de números racionais
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).
Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:
r = Rn[q] equivale a q = rn
Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.
Exemplos:
(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.
Observação: Não existe raiz de índice par de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.
Erro comum: Freqüentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.
Exemplos:
(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:
(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.
(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.
